Capítulo 23 Análisis de tablas de contingencia

José-María Montero

Universidad de Castilla-La Mancha

23.1 Introducción

Las tablas de contingencia analizan la relación existente entre variables categóricas, o susceptibles de categorizar, con un número de categorías finito. Dada su naturaleza, no permiten el uso de las tradicionales operaciones aritméticas, con lo cual, en el ámbito de la Estadística Descriptiva su análisis suele basarse en diagramas de barras y porcentajes (véase Cap. 11), y en la esfera de la Inferencia Estadística (Cap. 13) se centra en los contrastes de hipótesis no paramétricos y, básicamente, en el contraste de independencia entre dos o más de estas variables. Una pregunta que suele hacerse toda aquella persona que se acerca por primera vez al análisis de tablas de contingencia es el significado del término “contingencia”. Pues bien, este término fue acuñado por Pearson (Pearson, 1904) al apuntar: “Este resultado nos permite partir de la teoría matemática de la independencia probabilística, tal como se desarrolla en los libros de texto elementales, y construir a partir de ella una teoría generalizada de la asociación o, como yo la llamo, contingencia.”

El análisis de tablas de contingencia (o de asociación) permite dar respuesta, entre otras, a preguntas como: los factores involucrados en una tabla de contingencia, ¿son independientes o están asociados? Si están asociados, ¿qué niveles de dichos factores son los que están asociados?, ¿cuál es la intensidad de dicha asociación?

23.1.1 Notación

Sea una población (o una muestra) de N elementos sobre la que se pretende analizar, simultáneamente, dos (por simplicidad) atributos o factores (A y B) con R y C niveles, modalidades o categorías, respectivamente. Sean {A₁, A₂, …, A_R} y {B₁, B₂, …, B_C} los niveles anteriormente aludidos. Sea n_ij el número de elementos que presentan a la vez las modalidades i y j de los factores A y B, respectivamente. La tabla estadística que describe, conjuntamente, estos N elementos (en otros términos, que muestra las frecuencias conjuntas de los niveles de ambos factores) se denomina tabla de contingencia (Tabla 23.1).

Tabla 23.1: Tabla de contingencia de dos factores

			Factor B
		Nivel B1	Nivel B2	. . .	Nivel BC	Total
	Nivel A1	n11	n12	. . .	n1C	n1.
	Nivel A2	n21	n22	. . .	n2C	n2.
	.	.	.	.	.	.
Factor A	.	.	.	.	.	.
	.	.	.	.	.	.
	Nivel AR	nR1	nR2	. . .	nRC	nR.
	Total	n.1	n.2	. . .	n.C	n

A modo de ejemplo, considérese una muestra de 80 ayuntamientos de una C.C. A.A., anotándose en la base ayuntam, incluida en el paquete CRD del libro, el signo político del equipo gubernamental (signo_gob) y si prestan o no públicamente el servicio X (serv). Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

library("CDR")
data("ayuntam")

summarytools::ctable(ayuntam$signo_gob, ayuntam$serv, headings = TRUE) |>
  print()
#> Cross-Tabulation, Row Proportions  
#> signo_gob * serv  
#> Data Frame: ayuntam  
#> 
#> ------------ ------ ------------ ------------ -------------
#>                serv           No           Sí         Total
#>    signo_gob                                               
#>    Avanzados          14 (33.3%)   28 (66.7%)   42 (100.0%)
#>   Ilustrados           6 (15.8%)   32 (84.2%)   38 (100.0%)
#>        Total          20 (25.0%)   60 (75.0%)   80 (100.0%)
#> ------------ ------ ------------ ------------ -------------

Del estudio de las distribuciones marginales de ambos factores se deduce que el 52,5% de los ayuntamientos de la CC.AA. están regidos por los Avanzados y el 47,5% por los Ilustrados. Y, más interesante, que en el 75% de los ayuntamientos prestan el servicio X.

El análisis de la tabla de contingencia daría respuesta a las siguientes preguntas: ¿La prestación pública del servicio X es independiente del signo político del ayuntamiento o depende de dicho signo? En este último caso: ¿Qué signo político está asociado con la prestación pública y cuál no?, ¿la asociación entre los factores “Signo político del equipo gubernamental” y “Prestación pública del servicio X” es muy intensa? Pero dicho análisis se abordará posteriormente.

En función del número de factores involucrados en la tabla y del número de niveles de cada uno de ellos se tiene la siguiente tipología de tablas de contingencia:

• Tablas \(R\times C\): 2 factores, el primero con R niveles y el segundo con C niveles.

• Tablas \(R\times C \times M\): 3 factores, con R, C y M niveles, respectivamente.

• Y así sucesivamente.

Dentro de las tablas \(R\times C\) se distinguen las tablas \(2\times 2\) de las demás, por su especial interés en la realidad y por criterios pedagógicos, al ser las más sencillas.

23.1.2 Diseños experimentales o procedimientos de muestreo que dan lugar a una tabla de contingencia

Una cuestión a la que no se le da la suficiente importancia es la forma en la que se toma la información contenida en la tabla (el diseño del experimento o procedimiento de muestreo). Dada una determinada tabla de contingencia, esta puede haber sido obtenida mediante uno u otro diseño de experimento o procedimiento de muestreo, y esta circunstancia no es baladí, puesto que condiciona su análisis, sobre todo cuando el tamaño muestral es pequeño.

Sin ánimo de exhaustividad, los diseños experimentales o procedimientos de muestreo más habituales que dan lugar a una tabla de contingencia son los siguientes:¹⁷¹

• Tipo 1: se fijan los totales marginales de ambos factores

Ejemplo:

Se desea investigar si la preferencia de la larva de gorgojo por el tipo de judía es independiente de la cubierta de la semilla o depende de esta. Para ello se toman 22 judías de tipo A y 18 de tipo B, que se introducen en un recipiente con 33 larvas. Dadas las condiciones de densidad, no entrará más de una larva por judía. Pasado un tiempo prudencial para que las larvas entren en las judías, se procede a contar las que han sido atacadas de cada tipo y las que no.¹⁷²

Tabla 23.2: Tabla de contingencia con totales marginales en dos factores

		Presencia de	larva atacante
		NO	SÍ	Total
Tipo de	A	N11	N12	22
judía	B	N21	N22	18
	Total	7	33	40

Como puede apreciarse en la Tabla 23.2, los totales marginales de ambos factores han sido fijados en el diseño del experimento.

• Tipo 2: solo se fijan los totales marginales de uno de los factores

Ejemplo:

En un municipio se desea investigar si el desempleo es o no independiente del sexo del desempleado. Se seleccionan aleatoriamente 100 varones y 100 mujeres y se les pregunta por su situación laboral, trabajando o en paro (Tabla 23.3).¹⁷³

Tabla 23.3: Tabla de contingencia con totales marginales fijos en un factor

		Situación	laboral
		Trabajando	En paro	Total
Sexo	Varón	N11	N12	100
	Mujer	N21	N22	100
	Total	N.1	N.2	200

• Tipo 3: únicamente se fija el tamaño muestral

Ejemplo:

Un estudio transversal sobre la prevalencia de osteoporosis y su relación con dietas pobres en calcio incluyó a 400 mujeres entre 50 y 54 años. Cada una de ellas realizó una densiometría de columna y rellenó un cuestionario sobre sus antecedentes dietéticos para determinar si su dieta era o no pobre en calcio (Tabla 23.4).¹⁷⁴

Tabla 23.4: Tabla de contingencia con totales marginales variables

		Dieta pobre	en calcio
		NO	SÍ	Total
Osteoporosis	SÍ	N11	N12	N1.
	NO	N21	N22	N2.
	Total	N.1	N.2	400

23.2 Contraste de independencia en tablas \(2 \times 2\)

Como se avanzó en la Sec. 23.1, la primera pregunta a la que debe dar respuesta el análisis de tablas de contingencia es si los factores involucrados en la tabla son independientes o, por el contrario, están asociados. La respuesta a esta pregunta exige llevar a cabo un contraste de independencia y, para ilustrarlo, se aborda inicialmente el caso de las tablas \(2\times 2\). Dicho contraste se lleva a cabo de tres formas: (\(i\)) exacta, (\(ii\)) aproximada, y (\(iii\)) aproximada con corrección de continuidad.

23.2.1 Planteamiento general del contraste exacto de independencia

• Hipótesis:
  • \(H_0\): los factores son independientes.
  • \(H_1\): están asociados.¹⁷⁵
• Filosofía del contraste: se trata de un contraste de significación. Por tanto, la tabla observada será “rara” (bajo \(H_0\)) si su probabilidad, más la probabilidad de obtener tablas más alejadas de H₀ que ella, es inferior al nivel de significación, \(\alpha\), prefijado para el contraste. En ese caso, se rechaza la hipótesis de independencia entre los factores involucrados en la tabla.

23.2.2 Algoritmo para la realización del contraste exacto de independencia

De acuerdo con la filosofía de los contrastes de significación (Sec. 13.5), el algoritmo para la realización del contraste de independencia en tablas de contingencia es como sigue:

1. Selección de la tablas del espacio muestral que se alejen de la hipótesis de independencia, en la dirección marcada por la hipótesis alternativa, tanto o más que la tabla observada, incluida esta última.

2. Cálculo, bajo la hipótesis de independencia, de la probabilidad de ocurrencia de cada una de las tablas seleccionadas en el punto 1.

3. Suma de dichas probabilidades y comparación con el \(\alpha\) prefijado.

4. Toma de la decisión relativa al rechazo o no de la hipótesis de independencia.

Nótese que \((i)\) los pasos 1 y 2 dependen del diseño del experimento o procedimiento de muestreo llevado a cabo; \((ii)\) en ausencia del software adecuado, la realización de un test exacto es un procedimiento laborioso (a veces un reto), con lo cual, si ese fuera el caso, los test aproximados de independencia son bienvenidos.

A continuación, se expone el contraste de independencia, en sus versiones exacta, aproximada y aproximada con corrección de continuidad, cuando el procedimiento de muestreo o diseño experimental es el de tipo 1. En la Sec. 23.2.4 se comentan algunas cuestiones de interés cuando el diseño de muestreo es de tipo 2 o tipo 3.

23.2.3 Contraste de independencia: diseño tipo 1

23.2.3.1 Contraste exacto (test exacto de Fisher)

Considérese el ejemplo del diseño tipo 1 expuesto en la Sec. 23.1.2.¹⁷⁶ Supóngase que el resultado obtenido fue el mostrado en la Tabla 23.5:

datos_jud <- c(1, 6, 21, 12)
tabla <- cbind(
  expand.grid(list(
    Tipo_de_judía = c("A", "B"),
    Presencia_larva = c("No", "Sí")
  )),
  count = datos_jud
)
tabla_jud <- ftable(xtabs(count ~ Tipo_de_judía + Presencia_larva, tabla))

Tabla 23.5: Ejemplo de tabla de contingencia con totales marginales variables

		Presencia de larva	atacante
		NO	SÍ	Total
Tipo de	A	1	21	22
judía	B	6	12	18
	Total	7	33	40

Según el algoritmo expuesto en la Sec. 23.2.2, el contraste es como sigue:

1. Selección de las tablas que se alejan de \(H_0\) tanto o más que la observada.¹⁷⁷ Como se señalaba en Pearson (1904), la teoría de la independencia probabilística indica que, bajo la hipótesis de independencia, el porcentaje de judías de tipo A y de tipo B no atacadas (o atacadas) por una larva de gorgojo tiene que ser el mismo. En otros términos, bajo la hipótesis de independencia, en cada una de las cuatro celdas se tiene que verificar que: \(N_{ij} = \frac{N_{i.} N_{.j}}{N}, \forall i,j\), donde \(\frac{N_{i.} N_{.j}}{N}= {E}_{ij}\) se denomina frecuencia esperada bajo la hipótesis de independencia (en este caso, al estar los totales marginales fijos, \({E}_{ij}=\frac{n_{i.} n_{.j}}{n}\)). Denominando \({D}_{ij}=N_{ij}-{E}_{ij}, \hspace{0,2cm}\forall i,j, \hspace{0,2cm} i=1,2,\hspace{0,2cm} j=1,2\), se puede que comprobar que en una tabla \(2\times 2\), \({D}_{11}={D} _{22}= -{D}_{12}= - {D}_{21}\), con lo cual, tomando de referencia, por ejemplo, la celda {1,1}, las tablas que se alejan tanto o más que la observada de la hipótesis de independencia son aquellas que verifican, en valor absoluto, que \({D}_{11}=N_{11}-{E}_{11}\geq n_{11}-\frac {n_{1.} n_{\cdot1}}{n}\).

En el ejemplo que se considera, las \({D}_{11}\) son las siguientes (en negrita las de la tabla observada y aquellas otras que se alejan tanto o más que ella de \(H_0\)):

T₀: -3,85; T₁: -2,85; T₂: -1,85; T₃: -0,85; T₄: 0,15; T₅: 1,15; T₆: 2,15; T₇: 3,15,

donde el subíndice de T indica el valor de \(N_{11}\) en dicha tabla.

Nótese que el criterio anterior no es otro que el criterio general de seleccionar las tablas en las que la diferencia de porcentajes, por ejemplo, por fila, en valor absoluto, sea superior a la de la tabla observada, puesto que \(\left|\frac {N_{11}}{n_{1.}} -\frac {N_{21}}{n_{2.}} \right|=|{D}_{11} | \frac {n}{n_{1.} n_{2.} }\).

2. Cálculo, bajo la hipótesis de independencia, de la probabilidad de ocurrencia de cada una de las tablas seleccionadas en 1. La probabilidad de ocurrencia de una tabla de contingencia con los totales marginales fijos se puede obtener como el cociente entre el número de disposiciones de las frecuencias observadas favorables a dicha tabla y el número de disposiciones posibles. El número de disposiciones favorables coincide con el coeficiente multinomial (maneras de que de \(n\) frecuencias observadas, \(n_{11}\) caigan en la celda {1,1}, \(n_{12}\) lo hagan en la celda {1,2}, \(n_{21}\) lo hagan en la celda {2,1} y \(n_{22}\) lo hagan en la celda {2,2}:\(\frac {n!}{n_{11}! n_{12}! n_{21}! n_{22}!}\)).

El número de disposiciones posibles, supuesta \(H_0\), es: \(\binom{n}{n_{1.}} \binom{n}{n_{\cdot1}} = \frac{n!}{(n_{1.}! n_{2.}!)} \frac {n!}{(n_{\cdot1} ! n_{\cdot2})}\).

Por tanto, el cociente entre ambas es: \(P=\frac {n_{1.} !n_{2.} !n_{\cdot1} !n_{\cdot2} !} {n!n_{11} !n_{12} !n_{21} !n_{22} !}\).

En consecuencia, las probabilidades de las tablas seleccionadas en el punto 1 son: \(T_0\): 0,0017; \(T_1\): 0,0219; \(T_7\): 0,0091.

3. Suma de dichas probabilidades: 0,0327.

4. Comparación con \(\alpha\) y decisión sobre el rechazo o no de la hipótesis de independencia: La decisión depende del valor de \(\alpha\). Si fuera, por ejemplo, 0,05, se rechazaría la independencia entre el tipo de judía y si es o no atacada por la larva de gorgojo.

El código R necesario para tomar llevar a cabo el test exacto de Fisher anterior es:

# Ho: Los factores son independientes.
# H1: Los factores están asociados
fisher <- fisher.test(tabla_jud, alternative = "two.sided")
fisher$p.value
#> [1] 0.0327607

# Ho: Los factores son independientes.
# H1: Existe asociación negativa.
fisher_less <- fisher.test(tabla_jud, alternative = "less")
fisher_less$p.value
#> [1] 0.02361309

# Ho: Los factores son independientes.
# H1: Existe asociación positiva.
fisher_greater <- fisher.test(tabla_jud, alternative = "greater")
fisher_greater$p.value
#> [1] 0.998293

Como puede apreciarse, se rechaza la hipótesis de independencia frente a la de asociación (test bilateral). Esto no significa que las larvas ataquen a un tipo de judía y no al otro. Atacan a ambos tipos, ¡y bastante! Este es el primer hecho que se constata. Sin embargo, atacan más a las judías de tipo A (un 95% son atacadas) que a las de tipo B (dos terceras partes son atacadas). Esa diferencia porcentual de judías atacadas se considera significativa bajo el supuesto de independencia y, en ese sentido, se dice que existe asociación entre el tipo de judía y la presencia o no de larva atacante. La asociación sería A-SÍ y B-NO. Sin embargo, ¡cuidado!, las larvas atacan siempre. La asociación anterior debe entenderse como “el porcentaje de ataque es muy grande en ambos casos, pero en A (mucho) más que en B. Este es el segundo hecho importante que se constata: las larvas muestran una preferencia significativa por las judías tipo A. Aunque ya se ha visto la dirección de la asociación (en el sentido de la diagonal ascendente), en la Sec. 23.4, dedicada a las medidas de asociación en tablas \(2 \times 2\), se cuantificará su intensidad.

23.2.3.2 Contraste aproximado

En este caso (tipo 1), bajo \(H_0\): independencia, la frecuencia conjunta de una celda, \(N_{ij}\), cualquiera que sea, se distribuye según una ley hipergeométrica con \(E(N_{ij})=\frac{N_{ij}} {n_{i.}n_{\cdot j}}\) y \(V(N_{ij})=\frac{n_{i.}n_{\cdot j}(n-n_{i.}) (n-n_{\cdot j})}{n^2 (n-1)}\). Por consiguiente, \[P\left(\left( N_{11}-\frac{n_{1.} n_{\cdot1}} {n} \right) ^2 \geq \left(n_{11} - \frac{n_{1.} n_{\cdot1}}{n}\right)^2 \right)= P\left(\frac{(N_{11}-\frac{n_{1.} n_{\cdot1}} {n})^2}{\frac{n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}{n^2 (n-1)}} \geq \frac{(n_{11}-\frac{n_{1.} n_{\cdot1}}{n})^2}{\frac{n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2})}{n^2 (n-1)}}\right).\]

Y si ninguna \(\hat{E}_{ij}=\frac{n_{ij}} {n_{i.}n_{\cdot j}}\) es inferior a 5, la probabilidad anterior puede aproximarse (teorema central del límite) por:

\[P\left(\chi^2_1 \geq {\frac{\left( n_{11}-\frac{n_{1.} n_{\cdot1}} {n}\right)^2} {\frac{n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}{n^2 (n-1)}}}\right)=P\left( \chi^2_1 \geq {\frac{ (n-1)(n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12} )^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}}\right),\] donde el estadístico \(\frac{ (n-1)(n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12} )^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{.2}}\) se denomina Chi-cuadrado ajustado \((\chi^2_{ajd})\) y es tal que \(\chi^2_{ajd}= \frac {n-1} {n}\frac{ n (n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12} )^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}\), donde \(\frac{ n (n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12} )^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}\) es el estadístico Chi-cuadrado (\(\chi^2\)) que proporcionan todos los softwares de contraste de independencia en tablas de contingencia.

En el ejemplo propuesto:

chisq.test(tabla_jud)$expected
#>      [,1]  [,2]
#> [1,] 3.85 18.15
#> [2,] 3.15 14.85
chisq.test(tabla_jud, correct = FALSE)
#> 
#>  Pearson's Chi-squared test
#> 
#> data:  tabla_jud
#> X-squared = 5.6828, df = 1, p-value = 0.01713

Como \(\chi^2= 5,6828\), entonces \(\chi^2_{ajd}=5,54073\) y \(P\left(\chi^2_{ajd} \geq 5,54073\right)=0,0186\).¹⁷⁸

Nótese que la probabilidad exacta de obtener una tabla tan alejada o más de la hipótesis de independencia que la observada (incluida esta) es 0,0327, mientras que la probabilidad aproximada es 0,0186. La aproximación no es muy buena, y ello se debe a la existencia de frecuencias esperadas menores que 5.

23.2.3.3 Contraste aproximado con corrección de continuidad

Como se vio en la subsección anterior, al aproximar la probabilidad de obtención de tablas tanto o más alejadas de \(H_0\) que la observada (que se calcula con una distribución hipergeométrica, que es discreta) mediante una distribución \(\chi^2_1\) (que es continua), se comete un “error de continuidad”. Dicho error se intenta corregir incluyendo en el contraste una corrección de continuidad. Hay varias correcciones que han tenido cierto éxito en la literatura. La más popular es la corrección de Yates, si bien solo se recomienda cuando las \({E}_{ij}\) sean múltiplos de 0,5.

En el contraste aproximado con corrección de Yates, se rechaza \(H_0\) si: \[P\left( \chi^2_1 \geq {\frac{ (n-1)(|n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12} |-0,5n)^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}} \right)\leq \alpha ,\] donde el estadístico \({\frac{ (n-1)(|n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12}|-0,5n)^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}}\) se denomina estadístico Chi-cuadrado ajustado corregido de continuidad de Yates (\(\chi^2_{ajd,CCY}\)).

En el ejemplo propuesto, el test Chi-cuadrado con corrección de continuidad de Yates se obtiene directamente con la función chisq.test() que, por defecto, incluye el argumento correct = TRUE.

chisq.test(tabla_jud)
#> 
#>  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
#> 
#> data:  tabla_jud
#> X-squared = 3.8637, df = 1, p-value = 0.04934

Como el estadístico Chi-cuadrado corregido de continuidad \(\chi^2_{CCY}\) vale 3,8337, entonces \(\chi^2_{ajd,CCY}=\frac{39}{40} \cdot 3,8337=3,7636\); y como \(P\left( \chi^2_1 \geq 3,7636\right)=0,0524\), \(H_0\) se rechazaría cuando \(\alpha > 0,0524\). Nótese que si, por ejemplo, \(\alpha = 0,05\), la decisión sobre el rechazo o no de \(H_0\) es distinta con \(\chi^2_{CCY}\) y \(\chi^2_{ajd,CCY}\); de ahí la importancia de utilizar el estadístico ajustado.

Por tanto, la corrección de Yates ha transformado la infraestimación de la probabilidad exacta en una sobreestimación de más o menos el mismo tamaño. Ello se debe a que en la tabla observada, hay frecuencias esperadas (\({E}_{ij}\)) que distan mucho de ser múltiplos de 0,5. La corrección de Yates es la que incluye la librería utilizada (stats). Otras correcciones pueden verse en Ruiz-Maya et al. (1995) y Montero (2002).

23.2.4 Contraste de independencia: diseños tipo 2 y tipo 3

En el caso tipo 2, para la realización del test exacto, las tablas que se alejan tanto o más que la observada de la hipótesis de independencia son las que verifican: \[\left| \frac {N_{11}}{n_{1.}}-\frac{N_{21}}{n_{2.}}\right| \geq \left|\frac{n_{11}}{n_{1.}}-\frac{n_{21}}{n_{2.}}\right|,\] y la probabilidad de ocurrencia de una tabla de contingencia viene dada por:

\[\begin{equation} P\left({N_{11}}={n_{11}} ;{N_{12}}={n_{12}};{N_{21}}={n_{21}};{N_{22}}={n_{22}} |N=n\right) = \\ \binom{n_{1.}}{N_{11}} \binom {n_{2.}}{N_{21}} \left( \frac{N_{\cdot1}}{n} \right)^{N_{\cdot1}} \left( \frac {N_{\cdot2}}{n}\right)^{N_{\cdot2}}. \end{equation}\]

El estadístico de contraste en el test aproximado viene dado por \(\chi^2=\frac{ n (n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12})^2} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}\), y por \(\chi^2_{CC}=\frac { n \left( \left|n_{11}n_{22}-n_{21}n_{12}\right|-\frac {f} {2}\right)^{2}} {n_{1.}n_{\cdot1}n_{2.} n_{\cdot2}}\) en el caso de estar corregido de continuidad, siendo f el mayor factor común de los tamaños muestrales fijados.

En el caso tipo 3, las tablas que se alejan tanto o más que la observada de la hipótesis de independencia son las que verifican la condición expuesta en el tipo 2 (y tipo 1), siendo su probabilidad de ocurrencia:

\[\begin{equation} \begin{split} P\left({N_{11}} ={n_{11}} ;{N_{12}}={n_{12}};{N_{21}}={n_{21}};{N_{22}}={n_{22}} |N=n \right) = \\ \frac {n!}{{n_{1.}! n_{2.}! n_{\cdot 1}! n_{\cdot2}!}} \left(\frac {n_{1.}}{n} \frac{n_{\cdot1}}{n} \right)^{n_{11}} \left(\frac {n_{1.}}{n} \frac{n_{\cdot2}}{n} \right)^{n_{12}} \left(\frac {n_{2.}}{n} \frac{n_{\cdot1}}{n} \right)^{n_{21}} \left(\frac {n_{1.}}{n} \frac{n_{\cdot2}}{n} \right)^{n_{22}}. \end{split} \end{equation}\]

El test aproximado, en este caso, es un test razón de verosimilitudes donde el estadístico de contraste, \(G=-2ln\frac {n_{1.}^{n_{1.}} n_{2.}^{n_{2.}} n_{\cdot1}^{n_{\cdot1}} n_{\cdot2}^{n_{\cdot2}}}{n_{11}^{n_{11}} n_{21}^{n_{21}} n_{12}^{n_{12}} n_{22}^{n_{22}} n^n}\), también se distribuye como una \(\chi^2_1\) en caso de independencia. Apenas hay literatura sobre correcciones de continuidad en este modelo y la poca que hay sugiere la aplicación de la corrección de Yates.

Nota

En el diseño de muestreo tipo 3 se recomienda no usar ninguna corrección de continuidad, salvo que el tamaño muestral sea muy pequeño y sea imprescindible la realización del test.

El código R para llevar a cabo estos dos contrastes aproximados puede verse en la Sec. 23.3.1.

23.3 Contraste de independencia en tablas \(R \times C\)

El análisis de tablas \(R\times C\) puede considerarse, en principio, una generalización del caso de tablas \(2\times 2\). Ahora bien, en el caso \(R\times C\), los test exactos, recomendados en el caso de que \(E_{ij}\leq5\) en más del 20% de las celdas¹⁷⁹ (H. T. Reynolds, 1984), son un auténtico reto y aún no están disponibles en el software convencional.

Si no se cumple el requisito anterior, una solución es agrupar categorías, con sentido común y coherencia.¹⁸⁰ Si la agrupación de categorías no se pudiese hacer, por carecer de sentido o cualquier otro motivo, lo más honesto sería no realizar el contraste hasta disponer de una base de datos mejor.

A la luz de lo anteriormente expuesto, en el caso de tablas \(R\times C\) la atención se centra en los tests aproximados.

23.3.1 Contrastes aproximados

Cuando el procedimiento de muestreo o el diseño experimental es de tipo 1 o 2, el contraste aproximado de independencia se denomina contraste Chi-cuadrado. La filosofía de dicho contraste es la siguiente: parece lógico que el contraste se base en las diferencias (cuadráticas, para que no se compensen las negativas con las positivas) entre las frecuencias observadas y las esperadas bajo la hipótesis de independencia. Si los factores son independientes, dichas diferencias serán pequeñas y atribuibles a fluctuaciones aleatorias. Si están asociados, serán grandes y atribuibles a la asociación existente entre sus niveles. Pearson propuso el siguiente estadístico de contraste: \[\chi^2 =\sum_{i=1}^{R} \sum_{j=1}^{C}\frac {\left(N_{ij}-{E}_{ij}\right)^2} {{E}_{ij}},\]

que, si no se incumple el requisito expuesto en las primeras lineas de la Sec. 23.3, y bajo la hipótesis de independencia, se distribuye como una \(\chi_{(R-1)(C-1)}^2\). En caso de que \(P\left( \chi_{(R-1)(C-1)}^2 \geq \sum_{i=1}^{R} \sum_{j=1}^{C}\frac {\left(n_{ij}-\hat{E}_{ij}\right)^2} {\hat{E}_{ij}}\right )\) sea inferior al nivel de significación prefijado, se rechaza la hipótesis de independencia.¹⁸¹ Téngase en cuenta que en el caso \(R\times C\) la hipótesis alternativa es “al menos un nivel de un factor está asociado con un nivel del otro factor”.

La razón de que las diferencias \(\left(N_{ij}-\hat{E}_{ij}\right)^2\) se dividan por \(\hat{E}_{ij}\) en el estadístico Chi-cuadrado de Pearson es la siguiente: la misma diferencia \(N_{ij}-\hat{E}_{ij}\) puede significar cosas bien diferentes. Una diferencia de 5 no es nada si \(\hat{E}_{ij}=\) 1.000; pero es muchísimo si \(\hat{E}_{ij}=2\). Por eso la diferencia (cuadrática) se pone en relación con la frecuencia esperada.

En el caso de que el procedimiento de muestreo sea del tipo 3, aunque puede aplicarse el contraste Chi-cuadrado, es recomendable proceder con el contraste de independencia de razón de verosimilitudes, que compara por cociente las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia y las observadas. Se basa en la razón de la verosimilitud de la hipótesis de independencia a la luz de la muestra obtenida y del máximo de la función de verosimilitud, \(\Lambda\). Bajo el supuesto de independencia la razón será cercana a la unidad, atribuyéndose la diferencia a fluctuaciones aleatorias; el logaritmo neperiano de dicha razón (negativo) estará cercano a cero. En caso contrario, el cociente de verosimilitudes (negativo) disminuye, tanto más cuanto más diferencia hay entre la verosimilitud de la hipótesis de independencia y el máximo de la función de verosimilitud. En Wilks (1935) se demostró que, cuando la hipótesis de independencia es cierta, \(G=-2ln \Lambda\), con \(\Lambda= \prod_{i=1}^R \prod_{j=1}^C \left (\frac {{E}_{ij}} {N_{ij}}\right)^{N_{ij}}\) se distribuye como una \(\chi_{(R-1)(C-1)}^2\). Ambos estadísticos de contraste, \(\chi^2\) y \(G\), son asintóticamente equivalentes.

A modo de ejemplo, se quiere contrastar si en la Comunidad de Madrid la opinión sobre la presidente Dña. Isabel Díaz Ayuso depende de la zona geográfica o si, por el contrario, es independiente de ella. Para ello se encuestan, por algún procedimiento aleatorio, 2.795 personas con derecho a voto en la comunidad y se eliminan las respuestas “NS/NC/me es indiferente”. Los resultados obtenidos fueron los siguientes (dataset ayuso del paquete CDR):

data("ayuso")
tabla_ayuso <- table(ayuso)
tabla_ayuso
#>                opinion
#> zona            n1_nefasta n2_mala n3_buena n4_excelente
#>   n1_mad_muni           25     500       50         1000
#>   n2_metropol           10     280       50          460
#>   n3_extraradio          5     130       25          260
chisq.test(tabla_ayuso)$expected
#>                opinion
#> zona            n1_nefasta  n2_mala n3_buena n4_excelente
#>   n1_mad_muni    22.540250 512.7907 70.43828     969.2308
#>   n2_metropol    11.449016 260.4651 35.77818     492.3077
#>   n3_extraradio   6.010733 136.7442 18.78354     258.4615
chisq.test(tabla_ayuso, correct = FALSE)
#> 
#>  Pearson's Chi-squared test
#> 
#> data:  tabla_ayuso
#> X-squared = 19.486, df = 6, p-value = 0.003418

library("DescTools")
GTest(tabla_ayuso, correct = "none")
#> 
#>  Log likelihood ratio (G-test) test of independence without correction
#> 
#> data:  tabla_ayuso
#> G = 19.357, X-squared df = 6, p-value = 0.003602

Como puede verse, sea cual sea el estadístico de contraste, la hipótesis de independencia se rechaza para cualquiera de los valores de \(\alpha\) utilizados en la práctica (1%, 2,5%, 5%, 10%).

23.3.2 Contraste aproximado con corrección de continuidad

Afortunadamente, en la mayoría de las ocasiones el tamaño muestral es grande y los totales marginales no están muy desequilibrados, con lo que los estadísticos Chi-cuadrado y Chi-cuadrado corregido de continuidad son prácticamente iguales, sobre todo si el número de niveles de ambos factores es elevado. En caso de utilizar una corrección de continuidad, hay unanimidad en utilizar la de Yates, sea cual sea el procedimiento de muestreo y el test (Chi-cuadrado o \(G\)), si bien dicha unanimidad tiene mucho que ver con que es la única que está programada en el software convencional sobre tablas de contingencia.

23.4 Medidas de asociación en tablas \(2 \times 2\)

Si no se rechaza la hipótesis de independencia, el análisis de la tabla se puede dar por finalizado. En caso contrario, el nuevo objetivo es determinar la dirección de la asociación detectada (o las fuentes de asociación en el caso \(R\times C\)) y su intensidad, y para ello se utilizan las denominadas medidas de asociación. Igual que en el contraste de independencia, se distinguirán los casos \(2 \times 2\) y \(R\times C\), en esta ocasión no tanto por motivos pedagógicos sino porque las situaciones son bien diferentes.

En el caso \(2\times 2\), los tipos de asociación en función de su dirección (positiva y negativa) ya se definieron en la Sec. 23.2.1. Por lo que se refiere a los límites de su intensidad, se dice que la asociación es perfecta cuando al menos uno de los niveles de uno de los factores queda determinado por un nivel de ese otro factor. La asociación perfecta puede ser estricta o implícita de tipo 2:¹⁸²

• Estricta: dado el nivel de un factor, el nivel del otro queda inmediatamente determinado.
• Implícita de tipo 2: dado un nivel de un factor, el nivel del otro queda inmediatamente determinado; dado el otro nivel, no queda determinado el nivel del otro factor.

23.4.1 La Q de Yule

En caso de independencia, las frecuencias observadas coinciden con las esperadas. A medida que las primeras se separan de las segundas, se produce un alejamiento de dicha hipótesis y los niveles de los factores aumentan la intensidad de su asociación. Por consiguiente, las diferencias \({D}_{ij}\) entre las frecuencias observadas y las esperadas bajo el supuesto de independencia pueden ser la base de una magnífica medida de asociación. A mayores diferencias, mayor asociación. Más sencillo todavía: una única diferencia, por ejemplo la \({D}_{11}\), podría servir como medida de asociación porque, como bajo la hipótesis de independencia, \({D}_{ij}=0\) y \({D}_{11}={D}_{22}= -{D}_{12}=-{D}_{21}\), entonces se tiene que:

• En caso de independencia: \({D}_{11}={D}_{22}= 0\) y \({D}_{12}={D}_{21}=0\), o simplemente, \({D}_{11}=0\).

• En caso de asociación positiva: \({D}_{11}={D}_{22} \geq 0\) y \({D}_{12}={D}_{21}\leq 0\), o simplemente, \({D}_{11}\geq 0\).

• En caso de asociación negativa: \({D}_{11}={D}_{22} \leq 0\) y \({D}_{12}={D}_{21}\geq 0\), o simplemente, \({D}_{11}\leq 0\).

Por tanto, \({D}_{11}\) determina muy fácilmente la dirección de la asociación. Sin embargo, en cuanto a la intensidad de la misma, el campo de variación de \({D}_{11}\), \(\left[-\frac {N_{12} N_{21}} {n};\frac {N_{12} N_{21}} {n}\right]\), depende de los valores de las frecuencias observadas (esto es un problema a la hora de la interpretación) y la máxima intensidad asociativa se da cuando la diagonal descendente o la diagonal ascendente solo contienen ceros, es decir en caso de asociación perfecta estricta (negativa o positiva).

Para solucionar el problema anterior, se define la \({Q}\) de Yule como:

\[{Q}=\frac {n {D}_{11}} {N_{11}N_{22} - N_{12}N_{21}}=\frac{N_{11}N_{22} - N_{12}N_{21}} {N_{11}N_{22}+ N_{12}N_{21}}.\]

El campo de variación de \({Q}\) es \([-1;1]\) y:

• En caso de independencia, \({Q}=0\).
• En caso de asociación positiva, \({Q}< 0\).
• En caso de asociación negativa, \({Q}> 0\).

Por tanto, cuando se sustituyen los datos de la tabla observada en \({Q}\), obteniéndose su valor muestral u observado:

\[\hat{Q}=\frac{n_{11}n_{22} - n_{12}n_{21}} {n_{11}n_{22}+ n_{12}n_{21}},\] se actúa como sigue:

• Cuando \(\hat{Q}=0\) se dice que hay independencia.
• Cuando \(\hat{Q}< 0\) se dice que hay asociación negativa.
• Cuando \(\hat{Q}> 0\) se dice que hay asociación positiva.

Lógicamente, a mayor valor absoluto de \(\hat{Q}\) mayor intensidad de la asociación.

En el ejemplo utilizado para ilustrar el diseño experimental de tipo 1, el valor observado de \(Q\) es \(\hat{Q}=0,83\):

YuleQ(tabla_jud)
#> [1] -0.826087

A la luz del valor del valor de \(\hat{Q}\) se concluye la existencia de una fuerte asociación negativa.

23.4.2 Otras medidas de asociación para tablas \(2 \times 2\)

23.4.2.1 Cuadrado medio de la contingencia de Pearson

La primera medida de asociación que suele venirnos a todos a la cabeza es el propio estadístico de contraste \(\chi^2\). Sin embargo, no puede utilizarse como medida de asociación porque es siempre positivo y, sobre todo, porque su valor máximo, \(n(k-1)\), depende del tamaño muestral \(N\) y de \(k\), el número más pequeño de filas o columnas. En el caso \(2\times 2\) depende únicamente de \(n\) porque \(k-1=1\). Para eliminar el efecto de tamaño muestral, se define el cuadrado medio de la contingencia de Pearson como:

\[{\phi^2}= \frac{\chi^2}{n}=\frac{\left(N_{11}N_{22} - N_{12}N_{21}\right)^2} {N_{1.} N_{2.} N_{\cdot1}N_{\cdot2}},\] y se estima como \[\hat{\phi^2}=\frac{\left(n_{11}n_{22} - n_{12}n_{21}\right)^2} {n_{1.} n_{2.} n_{\cdot1}n_{\cdot2}}\] a partir de la tabla observada.

Su campo de variación es \([0; 1]\), tomando el valor 0 en caso de independencia y 1 cuando hay asociación perfecta y estricta. Cuanto mayor sea el valor del coeficiente, mayor es la intensidad de la asociación.

No proporciona la dirección de la asociación, si bien se puede saber por el signo de \(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\). Otra consideración importante es que, si se codifican los niveles de los factores como (0; 1), \({\phi}^2\) coincide con el coeficiente de determinación lineal entre los factores. Por tanto, la asociación que mide es “lineal” (de ahí que su valor suela ser más bajo que el de \({Q}\)). Su raíz cuadrada es conocida como la V de Cramer. En el ejemplo utilizado se tiene que:

(Phi(tabla_jud))^2
#> [1] 0.1420701

23.4.2.2 Odds ratio o cociente de posibilidades¹⁸³

Se define como \(\alpha=\frac {P_{11}/P_{12}} {P_{21}/P_{22}}\), donde \(P_{ij}\) es la probabilidad de que un elemento de la tabla pertenezca al i-ésimo nivel de A y al j-ésimo de B, y se estima como \(\hat{\alpha}=\frac {n_{11}/n_{12}} {n_{21}/n_{22}}=\frac {n_{11}n_{22}} {n_{12}n_{21}}\).

Su campo de variación es \([0;\infty)\), asimétrico, y por consiguiente, difícil de interpretar. En todo caso:

• Si \(\alpha < 1\), la probabilidad (aquí denominada posibilidad) de pertenecer al nivel 1 del factor B es menor en el nivel 1 del factor \(A\) que en el 2.
• Si \(\alpha = 1\), la probabilidad de pertenecer al nivel 1 del factor \(B\) es la misma en ambos niveles del factor \(A\).
• Si \(\alpha > 1\), la probabilidad de pertenecer al nivel 1 del factor \(B\) es mayor en el nivel 1 del factor \(A\) que en el 2.

Una posible solución a la dificultad de interpretación es definir \(ln{\alpha}\), que es una medida simétrica en \((-\infty;+\infty)\). Sin embargo, su interpretación, dada la gran amplitud del campo de variación, continúa siendo muy difusa.

Una ventaja que tiene respecto a \({\alpha}\) es que no cambia si las filas se convierten en columnas y las columnas en filas.¹⁸⁴ Por ello, la razón de posibilidades se puede utilizar no solo en estudios retrospectivos, sino también en aquellos prospectivos y transversales. Finalmente, nótese que \((i)\) la razón de posibilidades y el riesgo relativo (\(P_1/P_2\)) se relacionan como sigue: \(\alpha= \frac {P_1 (1-P_2)} {P_2 (1-P_1)}\); y que \((ii)\) ambos son similares cuando la probabilidad de éxito \(P_i\) está cerca de cero en ambos grupos.

El código siguiente proporciona el valor muestral de \(\alpha\) (\(\hat\alpha\)) en el ejemplo que nos ocupa, así como su intervalo de confianza del 95%:

library("epiR")
epi.2by2(tabla_jud, method = "cohort.count")$massoc.summary[2, ]
#>              var       est      lower     upper
#> 2 Inc odds ratio 0.0952381 0.01021365 0.8880565

23.5 Medidas de asociación en tablas \(R\) \(\times\) \(C\)

En caso de rechazo de la hipótesis de independencia en una tabla \(R\times C\), se concluye que al menos un nivel de uno de los factores está asociado con uno del otro factor. En ese caso, se utilizarán las medidas de asociación para determinar la intensidad de la misma. Las asociaciones de determinados niveles del factor \(A\) con determinados niveles del factor \(B\) que llevan al rechazo de la independencia de ambos se denominan fuentes de asociación, y se determinan mediante los residuos estandarizados ajustados.

23.5.1 Medidas derivadas del estadístico Chi-cuadrado

Como se avanzó en la Sec. 23.4.2.1, el estadístico \(\chi^2\) no puede utilizarse como medida de asociación porque su valor máximo, \(n(k-1)\), siendo \(n\) el tamaño muestral y \(k\) el número más pequeño de filas o columnas, depende tanto de \(N\) como del número de niveles de los factores.

El cuadrado medio de la contingencia, \(\phi^2\), elimina el efecto “tamaño muestral”, pero no el efecto “número de niveles de los factores”. Igual le ocurre al coeficiente de contingencia y a la T de Tschuprow, salvo en las tablas cuadradas. La única medida derivada del estadístico \(\chi^2\) que corrige ambos efectos es la V de Cramer: \[V=\sqrt\frac{\chi^2}{kn},\] con \(k=min\left(R-1; C-1\right)\). Su campo de variación es \([0,1]\) y alcanza su máximo en caso de asociación perfecta. En tablas cuadradas \(V=T\).

En el ejemplo utilizado en la Sec. 23.3.1:

CramerV(tabla_ayuso)
#> [1] 0.0590406

Aunque se rechaza la hipótesis de independencia, la asociación existente entre la opinión sobre la presidente y la zona geográfica es muy pequeña. Y ello porque, sea cual sea la zona geográfica, aunque hay ligerísimas variaciones, la opinión es muy favorable: para alrededor del 60% es excelente, para la tercera parte muy buena y tan solo para el 5% es mala (alrededor del 4%) o muy mala (apenas el 1%).

23.5.2 Medidas basadas en la reducción proporcional del error: \(\lambda\) de Goodman y Kruskal

Al contrario que las medidas basadas en el estadístico Chi-cuadrado, exigen determinar cuál es el factor explicativo y cuál el factor a explicar. Sea A el factor explicativo y B el factor a explicar: supóngase que se selecciona aleatoriamente uno de los elementos de la tabla. Este elemento pertenecerá a un nivel i de A y a un nivel j de B. Supóngase que se quiere predecir el nivel de B al que pertenece, \((i)\) sin utilizar el hecho de saber a qué nivel de A pertenece, y \((ii)\) utilizando dicho hecho. Lógicamente, tanto en el caso \((i)\) como en el \((ii)\) se comete un error \((P(i)\) y \(P(ii)\), respectivamente). La probabilidad de error será la misma si los factores son independientes. Sin embargo, si están asociados, el conocimiento del nivel de A al que pertenece el elemento seleccionado ayudará en la predicción del nivel de B al que pertenece (tanto más cuanto más asociados estén los factores) y la probabilidad de error disminuirá respecto al caso \((i)\). La reducción proporcional que se opera en el error es:

\[\lambda=\frac{P(i)-P(ii)} {P(i)},\]

donde \(P(i)\) y \(P(ii)\) se estiman como sigue: \(\hat{P}(i)= n- \max_{j} n_{\cdot j}\) y \(\hat{P}(ii)= n-\sum_{j=1}^C \max_{j} n_{\cdot j}.\)

En el caso en que A sea el factor a explicar, \(\hat{P}(i)= n- \max_{i} n_{i.}\) y \(\hat{P}(ii)= n-\sum_{i=1}^R \max_{i} n_{i.}\).

En caso de no tener claro cuál es el factor a explicar, se utiliza la media agregativa de las dos medidas anteriores:

\[\hat\lambda=\frac{\sum_{j=1}^C \max_i n_{i.}-max_i n_{i.}+\sum_{i=1}^R \max_j n_{\cdot j}-\max_j n_{\cdot j} }{2n-\max_i n_{i.}\max_j n_{\cdot j}}.\]

Su campo de variación es \([0,1]\). En caso de independencia, \(\lambda=0\). Ahora bien, que \(\hat\lambda=0\) no implica necesariamente que A y B tengan que ser independientes, puesto que \(\lambda\) también toma el valor 0 cuando en uno de los niveles del factor a explicar las frecuencias son superiores a las de los demás niveles, y ello para todos los niveles del factor explicativo, aunque los factores no sean independientes. En caso de asociación, \(0< \lambda \leq 1\), alcanzándose la unidad en caso de asociación perfecta.

Una limitación de \(\lambda\) (además de la anterior y de que exige determinar el factor explicativo y el factor a explicar) es su sensibilidad a totales marginales desequilibrados; en este caso, toma valores anormalmente bajos. Tal es el caso del ejemplo que nos ocupa, donde \(\hat\lambda=0\), con factor a explicar la opinión, y, sin embargo, los factores no son independientes. Y es que, sea cual sea la zona geográfica, las frecuencias de la categoría de opinión “excelente” son siempre las más elevadas.

Lambda(tabla_ayuso, direction = "row")
#> [1] 0

23.5.3 Determinación de las fuentes de asociación

En el caso de tablas \(R \times C\), el rechazo a la hipótesis de independencia no indica que cada nivel de uno de los factores esté asociado con uno de los niveles del otro factor, como en las tablas \(2\times 2\). Lo que indica es que al menos uno de los niveles de uno de los factores está asociado con un nivel del otro. Por tanto, puede ser, y así es normalmente, que dicho rechazo se deba a que algunos niveles de uno de los factores (incluso solo uno) están asociados con alguno de los del otro factor. Ya no hay dirección de la asociación, sino fuentes de asociación.

Para identificar las fuentes de asociación lo lógico es fijarse en cada celda en las diferencias entre la frecuencia observada y la esperada bajo el supuesto de independencia (tales diferencias juegan el papel de un término de error). Pero su interpretación depende del tamaño de la frecuencia esperada, y por ello se estandarizan, es decir, se ponen en relación con la raíz cuadrada de las correspondientes frecuencias esperadas.

Para decidir si tales diferencias estandarizadas son significativamente grandes (asociación) o no (independencia), se necesita conocer su distribución de probabilidad bajo la hipótesis de independencia. Para ello se dividen por su desviación típica porque de esta manera tienen aproximadamente una distribución \(N(0;1)\). Cuando estas diferencias estandarizadas divididas por sus desviaciones típicas se calculan (se estiman) a partir de los resultados observados y dispuestos en la tabla, se denominan residuos estandarizados ajustados (o de Haberman), y son los que se utilizan para identificar las fuentes de asociación.

Por tanto, la estimación de las diferencias (los residuos) son: \[\hat{R}_{ij}=n_{ij}-\hat{E}_{ij},\] y los de las diferencias estandarizadas (los residuos estandarizados) vienen dados por:

\[\hat{R}_{ij}(est)=\frac {n_{ij}-\hat{E}_{ij}}{\sqrt{\hat{E}_{ij}}},\] mientras que la siguiente expresión corresponde a las estimaciones de las diferencias estandarizadas ajustadas, que no son otras que los denominados residuos estandarizados ajustados:

\[\hat{R}_{ij}(est;ajd)=\frac{\hat{R}_{ij}(est)}{\sqrt{\left(1-\frac {n_{i.}} {N}\right)\left(1-\frac {n_{\cdot j}} {N}\right)}}.\]

Habrá una fuente de asociación en cada celda \(\{i; j\}\) que verifique: \(|\hat{R}_{ij}(est;ajd)|\geq{k}\), con \(k\) = 2,33; 1,96; 1,64 para \(\alpha\) = 0,01; 0,05; 0,10, respectivamente.

En el ejemplo que nos ocupa, los residuos estandarizados ajustados son:

library("questionr")
chisq.residuals(tabla_ayuso, digits = 2, std = TRUE)
#>                opinion
#> zona            n1_nefasta n2_mala n3_buena n4_excelente
#>   n1_mad_muni         0.79   -1.04    -3.77         2.41
#>   n2_metropol        -0.51    1.74     2.88        -2.78
#>   n3_extraradio      -0.45   -0.76     1.59         0.17

Asumiendo \(\alpha\) = 0,05, las fuentes de asociación son “Madrid municipio-excelente” a costa de “buena” y “Madrid metropolitano-buena” a costa de “excelente”.

23.6 Contrastes de independencia en tablas multidimensionales

En tablas con más de dos factores (el objetivo aquí es el caso \(R \times C \times M\), por simplicidad), no solo se puede contrastar la hipótesis de independencia global, sino que, en caso de ser rechazada, también se pueden contrastar las hipótesis de \((i)\) independencia parcial: dos factores están asociados y el tercero es independiente de ellos, y \((ii)\) independencia condicional: dos de los factores son independientes para cada nivel del tercero, pero están asociados con él.

En los tres casos, el estadístico de contraste (contraste aproximado) es \[\chi^2=\sum_{i=1}^R \sum_{j=1}^C \sum_{m=1}^M \frac{\left (N_{ijm}-{E}_{ijm}\right)^2}{{E}_{ijm})},\] con los siguientes grados de libertad (g.l.) y \({E}_{ijm}\) bajo la correspondiente \(H_0\):

Independencia global

\(dl=(R\times C\times M)-(R-1)-(C-1)-(M-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{i..}N_{.j.}N_{..m}}{n^2}\)

Independencia parcial

A y B asociados entre sí pero independientes de C:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(R\times C-1)-(M-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{ij.}N_{..m}}{n}\)

A y C asociados entre sí pero independientes de B:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(R\times M-1)-(C-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{i.m}N_{.j.}}{n}\)

B y C asociados entre sí pero independientes de A:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(C\times M-1)-(R-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{.jm}N_{i..}}{n}\)

Independencia condicional

A y B son independientes entre sí, pero están asociados con C:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(R\times M-1)-(C\times M-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{i.m}N_{.jm}} {n}\)

A y C son independientes entre sí, pero están asociados con B:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(R\times C-1)-(M\times C-1)-1\) y \({E}_{ijm}=\frac{N_{ij.}N_{.jm}}{n}\)

B y C son independientes entre sí, pero están asociados con A:

• \(g.l.=(R\times C\times M)-(C\times R-1)-(M\times R-1)-1\) y \({E}_{ij.}=\frac{N_{i.m}N_{.jm}}{n}\)

Para calcular el valor muestral del estadístico de contraste para las diferentes hipótesis, basta con sustituir las \(N_{ij}\) por las frecuencias observadas (las \(n_{ij}\)) y los totales marginales (\(N_{i.m}\), \(N_{.j.}\), \(N_{i..}\), etc.) por los totales marginales observados y que figuran en la tabla que surge de los datos en estudio (\(n_{i.m}\), \(n_{.j.}\), \(n_{i..}\), etc.).

También son interesantes las relaciones de segundo orden o superior (por ejemplo, si la asociación entre dos de los factores difiere en dirección y/o intensidad para distintos niveles del tercero), pero se estudian mediante modelos logarítmico lineales.

Resumen

• Las tablas de contingencia analizan la relación entre variables categóricas.

• Su análisis responde preguntas como: los factores involucrados en la tabla, ¿son independientes o están asociados? Si están asociados, ¿qué niveles de dichos factores son los que están asociados?, ¿cuál es la intensidad de dicha asociación?

• Se aborda ampliamente el caso de tablas bifactoriales y se proponen tests exactos y aproximados para el contraste de la hipótesis de independencia (para tres procedimientos de muestreo diferentes) y una selección de medidas de asociación.

• Finalmente, se hace una breve incursión en el ámbito de las tablas multidimensionales.